Объём сферы

Архимед нашёл объём шара, поместив его в цилиндр: шар плотно помещается внутри банки, касаясь верхней и нижней частей, а также боковых стенок. Шар заполняет ровно две трети банки.

У этой банки радиус r и высота 2r, поэтому её объём равен $\pi\cdot {r}^{2}\cdot 2r = 2\cdot \pi\cdot {r}^{3}$. Две трети этого объёма равны $\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot {r}^{3}$. Для этой сферы радиусом 3: $\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot {3}^{3} = \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot 27 = 36\cdot \pi$.

Правило: Объём сферы: $V = \frac{4}{3}\cdot \pi\cdot {r}^{3}$. На этот раз радиус возводится в куб, потому что сфера растёт одновременно во всех трёх направлениях.