Ça marche toujours

Le trinôme $x^{2}+3x+1 = 0$ ne peut pas être factorisé avec des nombres entiers. Aucune paire de nombres entiers n’a pour produit 1 et pour somme 3. La formule quadratique fonctionne tout de même. Elle donne $x = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

Le discriminant vaut 5, qui n’est pas un carré parfait. La racine carrée reste donc $\sqrt{5}$, comme dans le chapitre sur les racines carrées. Les deux solutions sont des nombres exacts, et la formule les a trouvées même si la factorisation était impossible.

La formule quadratique fonctionne même lorsqu’une équation quadratique ne peut pas être factorisée avec des nombres entiers. Lorsque les coefficients sont des nombres entiers, un discriminant qui est un carré parfait donne des solutions qui sont des nombres entiers ou des fractions. Un discriminant positif qui n’est pas un carré parfait donne des solutions comportant un signe de racine carrée. Compléter le carré est une autre façon de trouver les mêmes solutions.