Pourquoi la loi des sinus est valable

Abaisse la hauteur h issue de C sur le côté AB. Elle divise le triangle en deux triangles rectangles. Dans celui de gauche, h est le côté opposé à A et b est l’hypoténuse, donc h = b×sin(A). Dans celui de droite, h est le côté opposé à B et a est l’hypoténuse, donc h = a×sin(B).

Les deux ont la même hauteur : b×sin(A) = a×sin(B). Divisez par les deux sinus et vous obtenez a/sin(A) = b/sin(B). Une hauteur issue d’un autre sommet fait intervenir c de la même manière. Si B est obtus, la hauteur tombe à l’extérieur du triangle, et le triangle rectangle formé à cet endroit contient un angle de 180° − B, qui a le même sinus.

Deux angles et un côté opposé à l’un d’eux (AAS) constituent le cas direct. Avec A = 40°, B = 75° et a = 9 : b/sin(75°) = 9/sin(40°), donc b vaut environ 13.52.