Potenze di i

Moltiplica i per se stesso più e più volte. ${i}^{1} = i$ e ${i}^{2} = -1$. Poi ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$, e ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, che è -1 per -1, quindi 1. Un altro fattore fa ricominciare il ciclo: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. Le potenze seguono all'infinito un ciclo di quattro valori: i, -1, -i, 1.

Quindi, per una potenza grande, dividi l'esponente per 4 e tieni il resto. Per ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$, quindi ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, che è 1 per -i, cioè -i. Un resto di 1 dà i, 2 dà -1, 3 dà -i e 0 dà 1.

Perché 4? Perché ${i}^{4} = 1$, e moltiplicare per 1 non cambia nulla, quindi ogni gruppo di quattro i scompare. Ecco perché ${i}^{40} = 1$: 40 è 4 per 10 e non rimane nessuna i.