La formula diventa complessa

Quando ${b}^{2}-4ac$ è negativo, la radice quadrata nella formula quadratica contiene un numero negativo. In Algebra questo significava nessuna soluzione reale; ora significa due soluzioni complesse. Considera ${x}^{2}-6x+34 = 0$: a è 1, b è -6, c è 34, e ${b}^{2}-4ac$ è $36-136$, cioè -100.

Quindi $x = \frac{6\pm\sqrt{-100}}{2}$, e $\sqrt{-100}$ è 10i, ottenendo $x = \frac{6\pm10i}{2}$. Dividi entrambi i termini del numeratore per 2: $x = 3\pm5i$. Separa il ±: $x = 3+5i$ oppure $x = 3-5i$.

Quando a, b e c sono reali, le due soluzioni compaiono sempre come coppia coniugata: la parte reale, b diviso 2a con il segno invertito, è condivisa, e il ± compare solo davanti al termine con i.