1 + tan²x = sec²x

Dividi ogni termine di ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ per ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Allora $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ è ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ è 1 e $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ è ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Questo dà una seconda identità.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

È vera ovunque cos x sia diverso da 0. Sottrai 1 da entrambi i membri: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Quindi $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ è $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, che è tan x.