I quadrati eliminano i segni

Oltre 90°, il punto esce dal primo quadrante e le sue coordinate possono diventare negative. A 150°, il punto è (-√(3)/2, 1/2): si trova a sinistra dell’asse y, quindi la sua x è negativa. Il triangolo sottostante ha ancora cateti di lunghezza √(3)/2 e 1/2, e il quadrato di un numero negativo è positivo: (-√(3)/2)² = 3/4. Quindi i quadrati continuano a dare 1 come somma, in ogni quadrante.

x è negativo qui, ma x² no.

Ecco perché l’identità può ricavare una coordinata dall’altra, ma non il suo segno. Supponi che sin(x) = 3/5 e che x si trovi nel quadrante II. Allora cos(x)² = 1 - 9/25 = 16/25, quindi cos x è 4/5 oppure -4/5. Il quadrante II è a sinistra dell’asse y, quindi cos(x) = -4/5. L’identità dà il valore assoluto; il quadrante dà il segno.