Identità o equazione?

sin(x) = 1/2 è vera per alcuni angoli e falsa per altri: in un giro, solo a 30° e 150°. È un’equazione e risolverla significa trovare quegli angoli. sin(x)² + cos(x)² = 1 è vera per ogni angolo. È un’identità e non c’è niente da risolvere.

Per dimostrare che un’affermazione non è un’identità, basta trovare un angolo in cui i valori dei due membri sono diversi. Considera sin(x) + cos(x) = 1. A 0° si legge 0 + 1 = 1 e a 90° si legge 1 + 0 = 1, quindi due verifiche hanno esito positivo. A 60° si legge √(3)/2 + 1/2, circa 1,37, quindi non è un’identità.

Lo stesso esempio mostra perché controllare gli angoli non dimostra mai un’identità: l’affermazione è risultata vera due volte, ma è comunque falsa. Una dimostrazione trasforma un membro nell’altro con passaggi validi per ogni angolo.