Dalle somme ai prodotti

Leggi le formule prodotto al contrario, usando la semisomma e la semidifferenza degli angoli: una somma diventa un prodotto:

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Per $\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$, la semisomma è 3x e la semidifferenza è 2x, quindi è $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$.

È così che suonano insieme due note con un'altezza quasi uguale. La loro somma è un'onda veloce alla frequenza media moltiplicata per un'onda lenta a metà della differenza di frequenza. Il volume segue l'ampiezza dell'onda lenta, che raggiunge il picco due volte in ciascuno dei suoi cicli, quindi il battimento che senti si ripete alla differenza completa: note di 440 Hz e 442 Hz producono due battimenti al secondo.