tan(A + B) e tan(A - B)

Dividi sin(A + B) per cos(A + B), poi dividi numeratore e denominatore per cos A cos B, e si ottengono le formule della tangente espresse solo in termini di tangenti:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Devono esistere tan A e tan B (nessuno dei due angoli è 90° più un numero intero di mezzi giri) e il denominatore non deve essere 0. Al numeratore il segno segue l’angolo; al denominatore è opposto. Per 75° come 45° + 30°, con tan 45° = 1 e $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Una radice al denominatore si elimina moltiplicando numeratore e denominatore per il suo coniugato, qui 3 + √3: il denominatore diventa 9 - 3 = 6, il numeratore ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, e $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.