誤った答え

$\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$を解きましょう。左辺をまとめて$\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$とし、中身同士を等しいとおくと、${x}^{2}+4x-5 = 0$となり、これは$\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$と因数分解できます。候補は1と-5です。

-5をまとめた式に代入すると、問題なさそうに見えます。$x\left(x+4\right)$は-5と-1の積で、5だからです。元の式に代入すると、すぐに成り立たないことがわかります。$\ln\left(-5\right)$は定義されていないからです。つまり、-5は偽の解（余分な解とも呼ばれます）で、残る解はx = 1だけです。

それはどこから来たのでしょうか？元の式では、各入力が正である必要があります。つまり、x と $x+4$ の両方が 0 より大きくなければなりません。対数をまとめた式では、それらの積が正であればよく、負の数どうしの積も正になります。対数をまとめたことで条件が緩み、二次方程式には元の式では認められなかった解が含まれてしまいました。だからこそ、確認は必ず元の方程式に戻って行い、自分で作った途中の式に対しては行いません。