項を足す

10個の項 2, 5, 8, ..., 29 を足します。最初の項と最後の項を組にします。2 と 29 の和は 31 です。2番目の項と最後から2番目の項を組にしても、5 と 26 の和はやはり 31 です。一方の数が3ずつ増えると、組になるもう一方の数がちょうど3ずつ減るため、どの組の和も31になります。10個の項は5組になるので、和は $5\cdot 31$、つまり155です。

これを n 個の項を持つ任意の等差数列について書くと、$\frac{n}{2}$ 組になり、各組の和は初項と末項の和です。n が奇数の場合、中央の項は半分の組になりますが、個数の数え方はそのまま成り立ちます。

$$S = \frac{n}{2}\cdot \left(a\left(1\right)+a\left(n\right)\right)$$

若きカール・フリードリヒ・ガウスは、この方法であっという間に1から100までを足したと言われています。