積の法則

$\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$を考えてみましょう。$9 = {3}^{2}$であり、$27 = {3}^{3}$なので、積は${3}^{2}\cdot {3}^{3}$となり、これは${3}^{5}$です。累乗を掛け合わせると、指数は足し合わされます。したがって、対数は5です。これは2と3の和であり、9の対数と27の対数の和です。これが積の法則です。

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

同じ理由で、任意の正の M と N について成り立ちます。対数は指数です。M が b の p 乗で、N が b の q 乗なら、MN は b の $p+q$ 乗です。したがって、積の対数は対数の和になります。

この規則は、一方の因数が文字のときに最も役立ちます。正の x について、$\log_{3}\left(9x\right)$ は $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$ となり、$\log_{3}\left(9\right)$ は 2 なので、$2+\log_{3}\left(x\right)$ となります。