無限級数の和

ケーキを半分に切り、残りを半分に切り、それを繰り返します。切り分けたものはケーキの S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)、r^n、(1/2)^10 の割合になり、合計がケーキ全体を超えることはありません。無限に続く和でも、有限の答えになることがあります。

和の公式 S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r) を見てみましょう。r が -1 と 1 の間にあるとき、n が大きくなるにつれて r^n は 0 に近づいていきます。(1/2)^10 はすでに 1000 分の 1 より小さい値です。したがって、終わりのない和では r^n が消え、

S = a(1)/(1 - r)

10 + 5 + 5/2 + ...では、公比は1/2なので、S = 10/(1 - 1/2)となり、その値は20です。rが1以上、または-1以下の場合、各項は小さくならず、和は有限の値を持ちません。