無限級数の和

ケーキを半分に切り、残りを半分に切り、それを繰り返します。切り分けたものはケーキの $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$、${r}^{n}$、${\frac{1}{2}}^{10}$ の割合になり、合計がケーキ全体を超えることはありません。無限に続く和でも、有限の答えになることがあります。

和の公式 $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$ を見てみましょう。r が -1 と 1 の間にあるとき、n が大きくなるにつれて ${r}^{n}$ は 0 に近づいていきます。${\frac{1}{2}}^{10}$ はすでに 1000 分の 1 より小さい値です。したがって、終わりのない和では ${r}^{n}$ が消え、

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

$10+5+\frac{5}{2}+...$では、公比は1/2なので、$S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$となり、その値は20です。rが1以上、または-1以下の場合、各項は小さくならず、和は有限の値を持ちません。