底を書き換える

${27}^{x} = 81$ では、81 は 27 のべき乗ではありません。しかし、27 と 81 はどちらも 3 のべき乗です。$27 = {3}^{3}$ および $81 = {3}^{4}$ です。両辺を底が 3 になるように書き換えると、対応づけられる方程式になります。

27 を ${3}^{3}$ と表すと、${27}^{x}$ は ${\left({3}^{3}\right)}^{x}$ になり、累乗の累乗では指数を掛け合わせます。つまり、${3}^{3x}$ です。したがって、方程式は ${3}^{3x} = {3}^{4}$ となります。指数を等しくすると、$3x = 4$ が得られ、$x = \frac{4}{3}$ です。答えは整数である必要はありません。分数でも問題ありません。