等比数列の和

$1+4+16+64$を工夫して足し合わせます。この和をSと呼び、各項に公比4を掛けます：$4S = 4+16+64+256$。2つの数列には4、16、64が共通して含まれているので、4SからSを引くと、これらの項は相殺されます：$4S-S = 256-1$。つまり、$3S = 255$となり、Sは85です。

同じ引き算は、どの等比数列にも使え、最初のn項の和が求められます：

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

ここで n は項の数を表すので、累乗は ${r}^{n}$ であり、${r}^{n-1}$ ではありません。確認してみましょう。$\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ は -255 を -3 で割った値なので、85 です。この公式が成り立たないのは r が 1 のときだけです。その場合、分母が 0 になります。するとすべての項が同じになり、和は初項の n 倍です。