等比数列の和

1 + 4 + 16 + 64を工夫して足し合わせます。この和をSと呼び、各項に公比4を掛けます：4S = 4 + 16 + 64 + 256。2つの数列には4、16、64が共通して含まれているので、4SからSを引くと、これらの項は相殺されます：4S - S = 256 - 1。つまり、3S = 255となり、Sは85です。

同じ引き算は、どの等比数列にも使え、最初のn項の和が求められます：

S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)

ここで n は項の数を表すので、累乗は r^n であり、r^(n - 1) ではありません。確認してみましょう。1 × (1 - 4^4)/(1 - 4) は -255 を -3 で割った値なので、85 です。この公式が成り立たないのは r が 1 のときだけです。その場合、分母が 0 になります。するとすべての項が同じになり、和は初項の n 倍です。