対数とは何か

${2}^{3} = 8$であることは知っていますね。対数は、その事実を逆向きに問いかけます。8になるのは、2を何乗したときでしょうか。答えは3です。これを$\log_{2}\left(8\right) = 3$と書き、「8の2を底とする対数は3」と読みます。対数が答えるのは、「何乗か」という1つの問いです。

一般に、$\log_{b}(y) = x$は、${b}^{x} = y$とまったく同じ意味です。小さな数bは底、つまり累乗する数です。底は常に正で、1ではありません。特別な名前を持つ底が2つあります。底を明記しない対数は底が10なので、$\log\left(1000\right) = 3$です。また、$\ln\left(x\right)$は底が$e$の対数です。eは約2.718の数で、このセクションの後半で出てきます。

すべての底で成り立つ値が2つあります。$\log_{b}\left(1\right) = 0$です。どんな底でも、0乗すると1になるからです。$\log_{b}(b) = 1$です。どんな底でも、1乗するとその底自身になるからです。また、対数が存在しない入力もあります。正の底をどんな累乗にしても正の数になるため、0にも負の数にもなりません。したがって、$\log_{2}\left(0\right)$と$\log_{2}\left(-4\right)$は未定義です。対数の真数は正でなければなりません。