対数とは何か

2^3 = 8であることは知っていますね。対数は、その事実を逆向きに問いかけます。8になるのは、2を何乗したときでしょうか。答えは3です。これをlog_2(8) = 3と書き、「8の2を底とする対数は3」と読みます。対数が答えるのは、「何乗か」という1つの問いです。

一般に、log_b(y) = xは、b^x = yとまったく同じ意味です。小さな数bは底、つまり累乗する数です。底は常に正で、1ではありません。特別な名前を持つ底が2つあります。底を明記しない対数は底が10なので、log(1000) = 3です。また、ln(x)は底がeの対数です。eは約2.718の数で、このセクションの後半で出てきます。

すべての底で成り立つ値が2つあります。log_b(1) = 0です。どんな底でも、0乗すると1になるからです。log_b(b) = 1です。どんな底でも、1乗するとその底自身になるからです。また、対数が存在しない入力もあります。正の底をどんな累乗にしても正の数になるため、0にも負の数にもなりません。したがって、log_2(0)とlog_2(-4)は未定義です。対数の真数は正でなければなりません。