べき乗の法則

$\log_{2}\left(8^{2}\right)$を考えてみましょう。$8 = {2}^{3}$なので、累乗は${\left({2}^{3}\right)}^{2}$となり、これは${2}^{6}$です。累乗をさらに累乗すると、指数同士を掛け合わせます。したがって対数は6で、これは2と3の積、つまり指数と8の対数の積です。これが累乗の法則です。

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

これは正の M に対して成り立ち、指数は前に出て対数に掛かります。その理由は、M が b の p 乗なら、M の k 乗は b の kp 乗になるからです。積の法則を繰り返し適用したものと見ることもできます。$\log_{b}\left(M^{3}\right)$ は M と M と M の積の対数であり、これは M の対数を3つ足したものです。

文字を使う場合は、符号に注意してください。x > 0 なら、$\log_{3}\left(x^{4}\right)$ は $4\log_{3}\left(x\right)$ になります。x = -1 のとき、左辺は $\log_{3}\left(1\right)$ で、これは 0 ですが、$\log_{3}\left(-1\right)$ は値を持たないため、この法則には x が正であることが必要です。この法則は、底が10の場合も含め、すべての底で成り立ちます。