べき乗の法則

log_2(8^2)を考えてみましょう。8 = 2^3なので、累乗は(2^3)^2となり、これは2^6です。累乗をさらに累乗すると、指数同士を掛け合わせます。したがって対数は6で、これは2と3の積、つまり指数と8の対数の積です。これが累乗の法則です。

log_b(M^k) = k log_b(M)

これは正の M に対して成り立ち、指数は前に出て対数に掛かります。その理由は、M が b の p 乗なら、M の k 乗は b の kp 乗になるからです。積の法則を繰り返し適用したものと見ることもできます。log_b(M^3) は M と M と M の積の対数であり、これは M の対数を3つ足したものです。

文字を使う場合は、符号に注意してください。x > 0 なら、log_3(x^4) は 4log_3(x) になります。x = -1 のとき、左辺は log_3(1) で、これは 0 ですが、log_3(-1) は値を持たないため、この法則には x が正であることが必要です。この法則は、底が10の場合も含め、すべての底で成り立ちます。