잘못된 답

$\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$을 풀어 보세요. 좌변을 $\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$로 합치고, 로그 안의 식들을 서로 같게 놓으면 ${x}^{2}+4x-5 = 0$을 얻습니다. 이 식을 인수분해하면 $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$입니다. 후보는 1과 -5입니다.

-5를 합쳐진 방정식에 대입하면 맞는 것처럼 보입니다. $x\left(x+4\right)$는 -5 곱하기 -1이므로 5입니다. 원래 식에 대입해 보면 바로 성립하지 않습니다. $\ln\left(-5\right)$는 정의되지 않기 때문입니다. 따라서 -5는 허근, 즉 무연근이며, x = 1만 남습니다.

그 값은 어디서 나온 걸까요? 원래 식에서는 각 입력값이 양수여야 합니다. 즉, x와 $x+4$ 모두 0보다 커야 합니다. 로그를 합친 식에서는 두 값의 곱만 양수이면 되므로, 두 음수의 곱도 양수가 됩니다. 로그를 합치면서 조건이 완화되었고, 그 결과 이차방정식은 원래 식에서 허용되지 않았던 답을 포함하게 되었습니다. 그래서 검산은 항상 원래 방정식으로 돌아가야 하며, 직접 만든 식으로 돌아가서는 안 됩니다.