등비급수

기교를 사용해 $1+4+16+64$를 더해 보세요. 합을 S라고 하고, 모든 항에 공비 4를 곱합니다: $4S = 4+16+64+256$. 두 수열에는 4, 16, 64가 공통으로 있으므로, 4S에서 S를 빼면 이 항들이 상쇄됩니다: $4S-S = 256-1$. 즉, $3S = 255$이므로 S는 85입니다.

같은 방식으로 빼면 모든 등비수열에 적용할 수 있으며, 첫 n개 항의 합을 구할 수 있습니다:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

여기서 n은 항의 개수를 세므로, 거듭제곱은 ${r}^{n}$이지 ${r}^{n-1}$이 아닙니다. 확인해 보세요: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$는 -255를 -3으로 나눈 값이므로 85입니다. 이 공식은 r이 1일 때만 성립하지 않는데, 이때 분모가 0이기 때문입니다. 그러면 모든 항이 같으므로 합은 첫 번째 항에 n을 곱한 값입니다.