거듭제곱 법칙

$\log_{2}\left(8^{2}\right)$을 살펴보세요. $8 = {2}^{3}$이므로 거듭제곱은 ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$이고, 이는 ${2}^{6}$입니다. 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱해집니다. 따라서 로그는 6이며, 이는 2와 3의 곱, 즉 지수와 8의 로그를 곱한 값입니다. 이것이 거듭제곱의 로그 법칙입니다:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

양수 M에 대해 성립하며, 지수는 로그 앞에 내려옵니다. 이유는 다음과 같습니다. M이 b의 p제곱이면, M의 k제곱은 b의 kp제곱입니다. 곱셈 법칙을 반복해서 적용한 것으로도 볼 수 있습니다. $\log_{b}\left(M^{3}\right)$은 M 곱하기 M 곱하기 M의 로그이며, 이는 M의 로그 세 개를 더한 것과 같습니다.

문자가 들어갈 때는 부호에 주의하세요. x > 0일 때, $\log_{3}\left(x^{4}\right)$는 $4\log_{3}\left(x\right)$가 됩니다. x = -1일 때 왼쪽 식은 $\log_{3}\left(1\right)$이며, 이는 0입니다. 하지만 $\log_{3}\left(-1\right)$은 값이 없으므로, 이 법칙을 적용하려면 x가 양수여야 합니다. 이 법칙은 밑이 10인 경우를 포함해 모든 밑에서 성립합니다.