거듭제곱 법칙

log_2(8^2)을 살펴보세요. 8 = 2^3이므로 거듭제곱은 (2^3)^2이고, 이는 2^6입니다. 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱해집니다. 따라서 로그는 6이며, 이는 2와 3의 곱, 즉 지수와 8의 로그를 곱한 값입니다. 이것이 거듭제곱의 로그 법칙입니다:

log_b(M^k) = k log_b(M)

양수 M에 대해 성립하며, 지수는 로그 앞에 내려옵니다. 이유는 다음과 같습니다. M이 b의 p제곱이면, M의 k제곱은 b의 kp제곱입니다. 곱셈 법칙을 반복해서 적용한 것으로도 볼 수 있습니다. log_b(M^3)은 M 곱하기 M 곱하기 M의 로그이며, 이는 M의 로그 세 개를 더한 것과 같습니다.

문자가 들어갈 때는 부호에 주의하세요. x > 0일 때, log_3(x^4)는 4log_3(x)가 됩니다. x = -1일 때 왼쪽 식은 log_3(1)이며, 이는 0입니다. 하지만 log_3(-1)은 값이 없으므로, 이 법칙을 적용하려면 x가 양수여야 합니다. 이 법칙은 밑이 10인 경우를 포함해 모든 밑에서 성립합니다.