Kwadraty równe liczbom ujemnym

W algebrze równanie ${x}^{2} = -9$ nie miało rozwiązania, ponieważ żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje -9. Z i ma dwa rozwiązania. Zacznijmy od ${x}^{2}+9 = 0$: przenosimy 9 na drugą stronę, otrzymując ${x}^{2} = -9$, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron: $x = 3i$ lub $x = -3i$.

Dlaczego dwa? Zarówno ${\left(3i\right)}^{2}$, jak i ${\left(-3i\right)}^{2}$ są równe $9{i}^{2}$, czyli -9, podobnie jak zarówno 3, jak i -3 podniesione do kwadratu dają 9. Wyciąganie pierwiastka kwadratowego z obu stron zawsze wiąże się z ±.

Te dwa rozwiązania są swoimi liczbami sprzężonymi i nie jest to przypadek: gdy równanie kwadratowe z rzeczywistymi współczynnikami a, b i c ma rozwiązanie zawierające i, liczba sprzężona jest drugim rozwiązaniem.