円と直線

同じ方法は放物線ではない曲線にも使えます。${x}^{2}+{y}^{2} = 25$を考えてみましょう。ピタゴラスの定理より、この方程式が成り立つとき、点 (x, y) は原点からちょうど距離 5 の位置にあります。そのグラフは、半径 5、中心が (0, 0) の円です。右辺の数は半径の二乗です。

直線 $y = x+1$との交点を求めるには、円の式に直線の式を代入します：${x}^{2}+{\left(x+1\right)}^{2} = 25$。括弧を展開すると、${x}^{2}+{x}^{2}+2x+1 = 25$となり、次に同類項をまとめて 25 を移項すると、$2{x}^{2}+2x-24 = 0$となります。2で割って因数分解すると、$\left(x+4\right)\left(x-3\right) = 0$となるので、x は -4 または 3 です。

直線からそれぞれの y を求めます。x = 3 のとき y = 4、x = -4 のとき y = -3 です。交点は (3, 4) と (-4, -3) で、どちらも円の方程式を満たします。9 + 16 も 16 + 9 も 25 だからです。円の方程式に代入します。逆ではありません。y の値を示しているのは直線だけだからです。