最大の面積

長方形の周囲をぐるりと囲むために、40メートルのフェンスがあります。幅が w のとき、幅2辺と長さ2辺の合計は40なので、幅1辺と長さ1辺の合計は20です。長さは $20-w$ で、面積は $A\left(w\right) = w\left(20-w\right)$ です。

最も広い空間が得られる幅はいくつでしょうか。展開すると、$A\left(w\right) = -{w}^{2}+20w$ となります。これは下に開く放物線なので、頂点で面積が最大になります。x切片は w = 0 と w = 20 で、そのとき長方形は平らになり、面積はありません。頂点はその中間の w = 10 にあり、$A\left(10\right) = 10\left(10\right)$ となり、これは100平方メートルです。

最適な長方形は、縦横が10の正方形です。これは偶然ではありません。柵の長さが一定の場合、正方形は常にすべての長方形の中で最も広い面積を囲みます。