iに出会う

${x}^{2} = -1$を解いてみましょう。正の数をそれ自身に掛けると正になり、負の数をそれ自身に掛けても正になります。また、0の2乗は0です。負の平方を持つ実数はないので、数直線上ではこの方程式に解はありません。

数学者たちは新しい数でこの問題に答えました。虚数単位 i は、${i}^{2} = -1$という1つの規則で定義されます。つまり、i は -1 の平方根であり、$\sqrt{-1} = i$です。これは数直線上にはありません。デカルトは1637年にこのような数を「虚数」と呼びましたが、好意的な意味でそう呼んだのではありません。

代数では、i は追加の規則が1つある文字のように振る舞います。${i}^{2}$ が現れたら、いつでも -1 に置き換えます。したがって、$3i+2i = 5i$ となります。これは 3x と 2x を足すと 5x になるのと同じです。また、-1 には i と -i という2つの平方根があります。なぜなら、${\left(-i\right)}^{2}$ も -1 だからです。これは、9 に 3 と -3 という2つの平方根があるのと同じです。