iの累乗

iを何度もそれ自身に掛けます。${i}^{1} = i$、そして${i}^{2} = -1$です。次に、${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$、そして${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$は、-1に-1を掛けたものなので、1です。さらにもう一つ掛けると最初に戻ります。${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$です。累乗は4つの値を永遠に繰り返します。i、-1、-i、1。

大きな累乗の場合は、指数を4で割って余りを求めます。${i}^{23}$の場合：$23 = 4\cdot 5+3$なので、${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$となり、これは1に-iを掛けたもの、つまり-iです。余りが1ならi、2なら-1、3なら-i、0なら1になります。

なぜ4なのでしょうか？それは、${i}^{4} = 1$であり、1を掛けても何も変わらないため、iが4つ集まるごとに消えるからです。だから、${i}^{40} = 1$となります。40は4の10倍なので、余るiはありません。