共役複素数

共役とは、$a+bi$に対する$a-bi$のことです。実部は同じで、虚部の符号が反転します。$2+7i$の共役は$2-7i$であり、$6-i$の共役は$6+i$です。

数にその共役を掛けます。$\left(2+7i\right)\left(2-7i\right) = 4-14i+14i-49{i}^{2}$。2つのiの項は互いに反対で打ち消し合い、$-49{i}^{2}$は+49です。結果は4 + 49、つまり53で、実数です。

実数 $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) = {a}^{2}+{b}^{2}$ と $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) = {a}^{2}+{b}^{2}$ について、常に次のことが成り立ちます。$\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) = {a}^{2}+{b}^{2}$。代数で学んだ $\left(a+b\right)\left(a-b\right) = {a}^{2}-{b}^{2}$ と比べてみましょう。マイナスがプラスに変わるのは、${i}^{2} = -1$ だからです。共役複素数を掛けると複素数が実数になるので、これは次のレッスンで使う道具です。