答えの3つのパターン

判別式は公式の平方根の中にあり、平方根はその中の値の符号によって3通りの振る舞いをします。したがって、a、b、cが実数のとき、符号を見れば、何も解かなくても解がどのようなものになるかがわかります。

正：平方根は実数となり、±によって異なる2つの実数解が得られます。x^2 - 6x + 5 = 0の判別式は16で、解は1と5です。ゼロ：平方根は0なので、足しても引いても同じ数になります。x^2 + 2x + 1 = 0の判別式は4 - 4で、唯一の解である-1は重解と呼ばれます。

負：負の数の平方根には i が必要なため、2つの答えはいずれも複素数です。x^2 + 2x + 5 = 0では、判別式は4 - 20、つまり -16 であり、公式から(-2 ± √(-16))/2が得られます。したがって、x = -1 + 2iとx = -1 - 2iです。±によって、これらは共役となり、実部は同じで虚部は反対になります。a、b、c が実数の場合、複素数の解は必ずこのようなペアになります。