答えの3つのパターン

判別式は公式の平方根の中にあり、平方根はその中の値の符号によって3通りの振る舞いをします。したがって、a、b、cが実数のとき、符号を見れば、何も解かなくても解がどのようなものになるかがわかります。

正：平方根は実数となり、±によって異なる2つの実数解が得られます。${x}^{2}-6x+5 = 0$の判別式は16で、解は1と5です。ゼロ：平方根は0なので、足しても引いても同じ数になります。${x}^{2}+2x+1 = 0$の判別式は$4-4$で、唯一の解である-1は重解と呼ばれます。

負：負の数の平方根には i が必要なため、2つの答えはいずれも複素数です。${x}^{2}+2x+5 = 0$では、判別式は$4-20$、つまり -16 であり、公式から$\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}$が得られます。したがって、$x = -1+2i$と$x = -1-2i$です。±によって、これらは共役となり、実部は同じで虚部は反対になります。a、b、c が実数の場合、複素数の解は必ずこのようなペアになります。