1 + tan²x = sec²x

Podziel każdy składnik równania ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ przez ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Wtedy $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ to ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ to 1, a $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ to ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Otrzymujemy drugą tożsamość.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Jest ona prawdziwa dla wszystkich x, dla których cos x nie jest równe 0. Odejmij 1 od obu stron: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Zatem $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ to $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, czyli tan x.