Obroty o 90° i 180°

Dodanie ćwierć obrotu lub pół obrotu do kąta zmienia jego sinus i cosinus w określony sposób, a wzory na sumę pokazują dokładnie, jak. Wartości sinusa i cosinusa dla 90°, 180° i 270° to 0, 1 lub -1, więc w każdym wzorze jeden iloczyn znika.

Weźmy $\sin\left(x+180^{\circ}\right)$. Wzór daje $\sin\left(x\right)\cos\left(180^{\circ}\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(180^{\circ}\right)$. Podstawmy $\cos\left(180^{\circ}\right) = -1$ oraz $\sin\left(180^{\circ}\right) = 0$: $\sin\left(x\right)\left(-1\right)+\cos\left(x\right)\left(0\right)$, co daje $-\sin\left(x\right)$. Pół obrotu przenosi punkt na przeciwną stronę środka, więc obie współrzędne zmieniają znak.

Funkcje kofunkcyjne dają ten sam wynik: $\sin\left(90^{\circ}-x\right) = \sin\left(90^{\circ}\right)\cos\left(x\right)-\cos\left(90^{\circ}\right)\sin\left(x\right)$, czyli cos x.