tan(A + B) i tan(A - B)

Podziel sin(A + B) przez cos(A + B), a następnie podziel licznik i mianownik przez cos A cos B — otrzymasz wzory na tangensy wyrażone wyłącznie za pomocą tangensów:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Wartości tan A i tan B muszą istnieć (żaden z kątów nie może być równy 90° plus całkowita wielokrotność półpełnego obrotu), a mianownik nie może być równy 0. W liczniku znak zależy od kąta; w mianowniku jest przeciwny. Dla 75° jako 45° + 30°, przy tan 45° = 1 i $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Niewymierność w mianowniku usuwamy, mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone, tutaj 3 + √3: mianownik staje się równy 9 - 3 = 6, licznik ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, a $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.