Sumy na iloczyny

Odczytaj wzory zamieniające iloczyn na sumę od tyłu, używając połowy sumy i połowy różnicy kątów, a suma zamieni się w iloczyn:

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Dla $\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$ półsuma wynosi 3x, a półróżnica 2x, więc otrzymujemy $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$.

Tak brzmią jednocześnie dwie nuty o niemal tej samej wysokości. Ich suma to szybka fala o średniej wysokości, pomnożona przez wolną falę o połowie różnicy wysokości. Głośność zależy od amplitudy wolnej fali, która osiąga maksimum dwa razy w każdym cyklu, więc słyszane dudnienia powtarzają się z częstotliwością równą pełnej różnicy: nuty o częstotliwościach 440 Hz i 442 Hz dudnią dwa razy na sekundę.