Tożsamość czy równanie?

sin(x) = 1/2 jest prawdziwe dla niektórych kątów, a dla innych fałszywe: w jednym obrocie tylko dla 30° i 150°. To równanie, a jego rozwiązanie polega na znalezieniu tych kątów. sin(x)² + cos(x)² = 1 jest prawdziwe dla każdego kąta. To tożsamość i nie ma tu nic do rozwiązania.

Aby wykazać, że dane wyrażenie nie jest tożsamością, wystarczy jeden kąt, dla którego obie strony mają różne wartości. Weźmy sin(x) + cos(x) = 1. Dla 0° otrzymujemy 0 + 1 = 1, a dla 90° otrzymujemy 1 + 0 = 1, więc dwa sprawdzenia wypadają pomyślnie. Dla 60° otrzymujemy √(3)/2 + 1/2, czyli około 1,37, więc nie jest to tożsamość.

Ten sam przykład pokazuje, dlaczego sprawdzanie kątów nigdy nie dowodzi tożsamości: twierdzenie sprawdziło się dwukrotnie, a mimo to jest fałszywe. Dowód przekształca jedną stronę w drugą za pomocą kroków, które są prawdziwe dla każdego kąta.