لا حلول إطلاقًا

جرّب طريقة الجذر على x^2 = -9. فهي تطلب عددًا مربعه سالب، ولا يوجد مثل هذا العدد بين الأعداد الحقيقية: فالمربعات ليست سالبة أبدًا. سترفض اللوحة نفسها العملية وتخبرك بالسبب. ليس للمعادلة ببساطة حل حقيقي، وهذه إجابة مكتملة وصحيحة.

وتصطدم الصيغة بالحاجز نفسه بطريقة أكثر تهذيبًا: إذ إن x^2 + 2x + 5 = 0 لها مميّز 4 - 20 = -16، وجذر عدد سالب يوقف قصة الأعداد الحقيقية عند تلك النقطة.

عدم وجود حلول حقيقية ليس فشلًا؛ بل هو معلومة. القطع المكافئ لا يلامس المحور أبدًا؛ ومسألة القصة لا إجابة لها بكميات حقيقية. تبني الرياضيات اللاحقة أعدادًا تتجاوز الأعداد الحقيقية، حيث تزدهر هذه المعادلات، وهذا موضوع لرحلة أخرى.