الجذر المكرر

عندما يكون المميِّز صفراً، يكون للمعادلة حل واحد. لنأخذ x^2 - 4x + 4 = 0. الطرف الأيسر ثلاثي حدٍّ مربع كامل، لذا يمكنك كتابته على صورة (x - 2)^2 = 0. يكون المربع صفراً فقط عندما يكون العدد المُربَّع صفراً، لذا x - 2 = 0 وx = 2. يوجد حل واحد.

يمكنك أيضاً تحليل الطرف الأيسر إلى عوامل على صورة (x - 2)(x - 2) = 0. يعطي العاملان المعادلة نفسها، وهي x - 2 = 0، لذا يعطي كلاهما الحل نفسه. يُسمّى الحل الناتج عن عاملين متساويين جذراً مزدوجاً. الجذر المزدوج لهذه المعادلة هو 2.

مميّز x^2 - 4x + 4 = 0 يساوي أيضًا صفرًا. هنا b^2 يساوي 16 و4ac يساوي 16، لذا فإن المميّز هو 16 - 16 = 0. وبما أنه يساوي صفرًا، فإن علامة الجمع وعلامة الطرح في الصيغة التربيعية تعطيان القيمة نفسها، x = 2. تتفق الصيغة والتحليل والصيغة المربعة جميعًا على أن للمعادلة حلًا واحدًا.