الجذر المكرر

عندما يكون المميِّز صفراً، يكون للمعادلة حل واحد. لنأخذ $x^{2}-4x+4 = 0$. الطرف الأيسر ثلاثي حدٍّ مربع كامل، لذا يمكنك كتابته على صورة $\left(x-2\right)^{2} = 0$. يكون المربع صفراً فقط عندما يكون العدد المُربَّع صفراً، لذا $x-2 = 0$ و$x = 2$. يوجد حل واحد.

يمكنك أيضاً تحليل الطرف الأيسر إلى عوامل على صورة $\left(x-2\right)\left(x-2\right) = 0$. يعطي العاملان المعادلة نفسها، وهي $x-2 = 0$، لذا يعطي كلاهما الحل نفسه. يُسمّى الحل الناتج عن عاملين متساويين جذراً مزدوجاً. الجذر المزدوج لهذه المعادلة هو 2.

مميّز $x^{2}-4x+4 = 0$ يساوي أيضًا صفرًا. هنا $b^{2}$ يساوي 16 و$4ac$ يساوي 16، لذا فإن المميّز هو $16-16 = 0$. وبما أنه يساوي صفرًا، فإن علامة الجمع وعلامة الطرح في الصيغة التربيعية تعطيان القيمة نفسها، $x = 2$. تتفق الصيغة والتحليل والصيغة المربعة جميعًا على أن للمعادلة حلًا واحدًا.