Ein stumpfer Winkel dazwischen

Teil des Abschnitts Dreiecke ohne rechten Winkel der Trigonometry-Journey von Coddy. Lektion 17 von 44.

Wenn der Winkel zwischen den Seiten stumpf ist, ist sein Kosinus negativ, sodass der Term -2×a×b×cos(C) die Länge vergrößert, statt sie zu verkürzen. Die dritte Seite ist länger, als es nach dem Satz des Pythagoras der Fall wäre.

$Seiten 5 und 8 mit einem Winkel von 120° zwischen ihnen$

Seiten 5 und 8 mit einem Winkel von 120° dazwischen: cos(120°) = -1/2, also ist der letzte Term -2×5×8×(-1/2), was +40 ergibt. Dann gilt c² = 25 + 64 + 40 = 129 und c = √129, also etwa 11.36. Allein mit dem Satz des Pythagoras hätte man √89, also etwa 9.43, erhalten: zu kurz für einen weit geöffneten Winkel.

Der übliche Fehler besteht darin, cos 120° als +1/2 anzunehmen. Dadurch werden 40 abgezogen und man erhält √49 = 7, eine Seite, die kürzer ist als die angrenzende Seite mit Länge 8. Gegenüber einem stumpfen Winkel liegt die längste Seite, daher kann diese Antwort nicht stimmen.

Aufgabe

Zwei Seiten eines Dreiecks sind 7 m und 8 m lang, und der Winkel zwischen ihnen beträgt 120°. Bestimme die dritte Seite x exakt und drücke dann auf Check.

Probier es selbst

$Finde x mit Hilfe der Figur$