La velocità come tasso di variazione

Lancia una palla verticalmente verso l’alto. La sua altezza in metri dopo t secondi è $h\left(t\right) = 30t-5{t}^{2}$. Dopo 1 secondo si trova a 25 metri di altezza e dopo 2 secondi a 40 metri. In quel secondo la sua altezza è aumentata di 15 metri, quindi la sua velocità media era di 15 metri al secondo.

La velocità media è il tasso medio di variazione dell’altezza: variazione dell’altezza divisa per variazione del tempo, $\frac{h\left(2\right)-h\left(1\right)}{2-1}$. I metri al numeratore e i secondi al denominatore danno metri al secondo. Il segno indica la direzione. Da t = 4 a t = 5 l’altezza scende da 40 a 25, quindi la velocità media è -15 metri al secondo: il segno negativo significa che la palla è finita più in basso.

La velocità vettoriale non è la velocità scalare. Da t = 2 a t = 4 l’altezza passa da 40 a 40, quindi la velocità vettoriale media è 0, ma la palla non è rimasta ferma: è salita fino a 45 metri a t = 3 ed è ricaduta. Ha percorso 10 metri in 2 secondi, con una velocità scalare media di 5 metri al secondo. La velocità vettoriale considera solo il punto in cui la palla parte e quello in cui arriva; la velocità scalare conta ogni metro percorso e non è mai negativa.