解なし

すべての方程式に解があるとは限りません。方程式 $x+3 = x+5$ は、ある数に3を足したものが、同じ数に5を足したものに等しいと言っています。そのようなことができる数はありません。それでも解いて、何が起こるかを見てみましょう。両辺から $x$ を引きます：

$$3 = 5$$

$x$ の項は打ち消し合い、残るのは偽の文です。偽の文は、元の方程式が $x$ のどの値に対しても成り立たないことを意味します。この方程式には解がありません。すべての手順は正しかったのです。答えは、成り立つ数がないということです。

方程式の見た目だけでは、解があるかどうかを判断できません。$2\left(x+1\right) = 2x+5$という方程式は、普通に見えます。左辺を展開すると、$2x+2 = 2x+5$となります。両辺から$2x$を引くと、$2 = 5$になります。$x$の項が完全に消去されたら、残った等式に注目してください。それが偽であれば、その方程式には解がありません。