1 + tan²x = sec²x

${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$の各項を${\cos\left(x\right)}^{2}$で割ります。すると、$\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$は${\tan\left(x\right)}^{2}$であり、$\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$は1、$\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$は${\sec\left(x\right)}^{2}$です。これにより、2つ目の恒等式が得られます。

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

これは、cos x が0でないすべての範囲で成り立ちます。両辺から1を引くと、${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$となります。したがって、$\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$は$\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$であり、これはtan xです。