半角のtan

半角の正弦を半角の余弦で割って整理すると、半角の正接には平方根がまったく必要ありません：

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}$$

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin\left(x\right)}{1+\cos\left(x\right)}$$

両辺が定義されている場合、どちらも成り立ちます。x = 2A とすると、二倍角を A に戻せます。$\frac{\sin\left(2A\right)}{1+\cos\left(2A\right)}$ は $\tan\left(A\right)$ です。

90°では、$\frac{1-\cos\left(90^{\circ}\right)}{\sin\left(90^{\circ}\right)} = 1$ となり、tan 45°も確かに1です。