sin(A + B) と sin(A - B)

和の正弦は、正弦の和ではありません。30°と30°の場合、$\sin\left(60^{\circ}\right)$は約0.87ですが、$\sin\left(30^{\circ}\right)+\sin\left(30^{\circ}\right)$は1です。正しい公式では、正弦と余弦を組み合わせます：

$$\sin\left(A+B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)+\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

$$\sin\left(A-B\right) = \sin\left(A\right)\cos\left(B\right)-\cos\left(A\right)\sin\left(B\right)$$

特殊角の三角形では求められない角の正確な値が得られます。75°は45° + 30°です：

$$\sin\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$$

これは$\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$なので、$\sin\left(75^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$、約0.966です。途中の符号は角度の符号に従います。