90°と180°回転する

角度に四分の一回転または半回転を加えると、その正弦と余弦は一定の規則で変化し、加法定理からその様子が正確にわかります。90°、180°、270°における正弦と余弦の値は0、1、-1なので、各公式の積の一方は0になります。

$\sin\left(x+180^{\circ}\right)$を考えてみましょう。公式から、$\sin\left(x\right)\cos\left(180^{\circ}\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(180^{\circ}\right)$となります。$\cos\left(180^{\circ}\right) = -1$と$\sin\left(180^{\circ}\right) = 0$を代入すると、$\sin\left(x\right)\left(-1\right)+\cos\left(x\right)\left(0\right)$となり、これは$-\sin\left(x\right)$です。半回転すると点は中心の反対側に移動するため、両方の座標の符号が変わります。

余関数も同じように求められます。$\sin\left(90^{\circ}-x\right) = \sin\left(90^{\circ}\right)\cos\left(x\right)-\cos\left(90^{\circ}\right)\sin\left(x\right)$となり、これは cos x です。