和を積に変換

積和公式を逆向きに読み、角の半和と半差を使うと、和は積になります。

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$の場合、半和は3x、半差は2xなので、$2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$となります。

ほぼ同じ音程の2つの音が一緒に鳴ると、このように聞こえます。その和は、平均音程の速い波に、音程の差の半分のゆっくりした波を掛けたものです。音量はゆっくりした波の大きさに従い、その波は1周期ごとに2回ピークを迎えるため、聞こえるうなりは音程の差そのものの速さで繰り返されます。440 Hzと442 Hzの音なら、うなりは1秒間に2回聞こえます。