tan(A + B) と tan(A - B)

sin(A + B) を cos(A + B) で割り、次に分子と分母を cos A cos B で割ると、tan だけで表した正接の公式が得られます。

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

tan A と tan B が存在し（どちらの角も90°に半回転の整数倍を加えた角ではなく）、分母が0でないことが必要です。分子の符号は角に従い、分母ではその逆になります。75°を45° + 30°とし、tan 45° = 1、tan(30°) = √(3)/3であるとすると：

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

分母にある根号は、分子と分母に共役な式（ここでは3 + √3）を掛けて取り除きます。分母は9 - 3 = 6、分子は(3 + √(3))² = 12 + 6√(3)となり、tan(75°) = 2 + √(3)です。