tan(A + B) と tan(A - B)

sin(A + B) を cos(A + B) で割り、次に分子と分母を cos A cos B で割ると、tan だけで表した正接の公式が得られます。

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

tan A と tan B が存在し（どちらの角も90°に半回転の整数倍を加えた角ではなく）、分母が0でないことが必要です。分子の符号は角に従い、分母ではその逆になります。75°を45° + 30°とし、tan 45° = 1、$\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$であるとすると：

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

分母にある根号は、分子と分母に共役な式（ここでは3 + √3）を掛けて取り除きます。分母は9 - 3 = 6、分子は${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$となり、$\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$です。