和の上に和

CoddyのTrigonometryジャーニー「三角恒等式」セクションの一部。レッスン 41/48。

分子に和があり、分母にも和がある分数は、共通因子を持つ2つの積に変形できることがよくあります。 $\frac{\sin\left(5x\right)+\sin\left(3x\right)}{\cos\left(5x\right)+\cos\left(3x\right)}$ を考えてみましょう。分子は $2\sin\left(4x\right)\cos\left(x\right)$ で、分母は $2\cos\left(4x\right)\cos\left(x\right)$ です。2とcos xが約分され、 $\frac{\sin\left(4x\right)}{\cos\left(4x\right)}$ は $\tan\left(4x\right)$ になります。

まず両方を積の形にしてから、共通因数を探します。和は項ごとに約分できませんが、積なら約分できます。

チャレンジ

$\frac{\sin\left(3x\right)+\sin\left(x\right)}{\cos\left(3x\right)+\cos\left(x\right)}$ が $\tan\left(2x\right)$ に等しいことを証明しましょう。ボードに $\tan\left(2x\right)$ と表示されるまで式を書き換えてください。その後、Checkを押してください。