半角の値

べき下げ公式の x の代わりに x/2 を入れると、既知の角度の半分の値が求められます。

$${\sin\left(\frac{x}{2}\right)}^{2} = \frac{1-\cos\left(x\right)}{2}$$

$${\cos\left(\frac{x}{2}\right)}^{2} = \frac{1+\cos\left(x\right)}{2}$$

15°は30°の半分です。したがって、${\sin\left(15^{\circ}\right)}^{2} = \frac{1-\cos\left(30^{\circ}\right)}{2} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$です。分子の外に1/2をくくり出すと、$\frac{\frac{1}{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}$となり、これは$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$です。

この公式で得られるのは二乗の値です。sin 15°そのものを求めるには、平方根を取り、象限から符号を選びます。15°は第I象限にあるので、正の平方根を選びます。つまり、$\sin\left(15^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$です。