네제곱

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$은 어려운 4차 방정식처럼 보이지만, ${x}^{4}$와 ${x}^{2}$만 포함하며, ${x}^{4}$은 ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$입니다. ${x}^{2}$을 하나의 미지수로 보면 이 식은 2차 방정식입니다. 그 미지수의 제곱에서 그 미지수의 17배를 빼고 16을 더한 식입니다. 곱이 16이고 합이 -17인 두 수는 -1과 -16이므로, 인수분해하면 $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$입니다.

각 괄호는 제곱의 차이이므로, 좌변은 네 인수로 나뉩니다. $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. 경우를 나누어 풀면 답 네 개를 얻습니다. 1, -1, 4, -4입니다. 4차 방정식은 해가 최대 네 개이며, 이 방정식은 그 해를 모두 갖습니다.

모든 괄호식에서 실수 해가 나오는 것은 아닙니다. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$은 $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$로 인수분해되고, 실수의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 ${x}^{2} = -4$는 실수 해가 없습니다. 유일한 실수 해는 5와 -5입니다.