분수의 부호

분수는 분자와 분모의 부호가 서로 반대일 때, 즉 양수를 음수로 나누거나 음수를 양수로 나눌 때 음수가 됩니다. $\frac{x-2}{x+5} < 0$을 살펴봅시다. $x+5$의 부호를 알 수 없으므로, 숫자를 곱하듯이 양변에 곱할 수 없습니다. 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀌기 때문입니다.

그러므로 부호에 따라 경우를 나누어 봅시다. $x-2 > 0$이고 $x+5 < 0$이거나, $x-2 < 0$이고 $x+5 > 0$입니다. 첫 번째 경우는 x가 2보다 크면서 동시에 -5보다 작아야 합니다. 둘 다 만족하는 수는 없으므로 이 경우는 공집합입니다. 두 번째 경우는 x가 2보다 작고 -5보다 커야 하므로, $-5 < x < 2$입니다.

확실히 하기 위해 숫자를 대입해 보세요. x = 0이면 -2 over 5가 되어 음수이므로 포함됩니다. x = 3이면 1 over 8이 되어 양수이므로 포함되지 않습니다. 답은 분자나 분모가 0이 되는 두 숫자인 -5와 2 사이에 있습니다.