Uma resposta falsa

Resolva $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}+4$. Multiplique ambos os lados por $x-1$ para obter $x+1 = 2+4\left(x-1\right)$. Desenvolvendo: $x+1 = 4x-2$, então 3x é 3 e x é 1. Agora substitua 1 na equação original: $x-1$ é 0, e não se pode dividir por 0. x = 1 não é uma solução.

De onde isso veio? Quando x = 1, multiplicar por $x-1$ significou multiplicar ambos os lados por 0, e isso torna iguais quaisquer dois lados. Portanto, a nova equação tem uma solução que a equação original nunca teve. Uma resposta assim é chamada de extrânea: uma resposta falsa produzida pelos cálculos e rejeitada pela equação original.

Como x = 1 foi descartado e não sobrou mais nada, essa equação não tem solução. Essa é uma resposta correta e completa, não um fracasso.