Agrupamento para resolver

Quando um polinômio cúbico tem quatro termos e nenhum fator comum a todos eles, tente agrupar. Considere x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. Os dois primeiros termos têm x^2 como fator comum, e os dois últimos têm -9, então o lado esquerdo é x^2(x - 3) - 9(x - 3). Agora x - 3 é um fator comum: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. O termo entre parênteses x^2 - 9 é uma diferença de quadrados, então a equação inteira é (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

Separar em casos dá 3, depois -3, e depois 3 novamente. O fator x - 3 aparece duas vezes, então 3 é uma raiz repetida. Na resposta, ela conta uma vez: as soluções são 3 e -3. Uma resposta é um conjunto de números, e um conjunto contém cada número uma única vez, independentemente de quantos fatores apontem para ele. Em um gráfico, uma raiz repetida um número par de vezes, como 3 aqui, é o ponto em que a curva toca o eixo x e volta. Uma raiz repetida um número ímpar de vezes cruza o eixo: (x - 1)^3 cruza o eixo em 1.