Agrupamento para resolver

Quando um polinômio cúbico tem quatro termos e nenhum fator comum a todos eles, tente agrupar. Considere ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. Os dois primeiros termos têm ${x}^{2}$ como fator comum, e os dois últimos têm -9, então o lado esquerdo é ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Agora x - 3 é um fator comum: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. O termo entre parênteses ${x}^{2}-9$ é uma diferença de quadrados, então a equação inteira é $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

Separar em casos dá 3, depois -3, e depois 3 novamente. O fator x - 3 aparece duas vezes, então 3 é uma raiz repetida. Na resposta, ela conta uma vez: as soluções são 3 e -3. Uma resposta é um conjunto de números, e um conjunto contém cada número uma única vez, independentemente de quantos fatores apontem para ele. Em um gráfico, uma raiz repetida um número par de vezes, como 3 aqui, é o ponto em que a curva toca o eixo x e volta. Uma raiz repetida um número ímpar de vezes cruza o eixo: ${\left(x-1\right)}^{3}$ cruza o eixo em 1.